ISFD "Juan García de Cossio"
Matemática – Profesorado de Educación Primaria
Curso Introductorio 17/03/2020
En muchas ocasiones hablamos de las posibilidades de la matemática, de todo aquello que se puede lograr en virtud de esta ciencia; pero, debemos reconocer que hay ciertas tareas matemáticas que no se pueden resolver y de una de ellas nos vamos a ocupar hoy.
Esta situación es más que interesante porque por una parte nos muestra que hay límites, el refrán dice que querer es poder, y siempre me pareció muy importante la voluntad… si es sensata… es decir, tan importante como es poner empeño en lo que hacemos está en reconocer cuáles son nuestras posibilidades de concretarlo. Es fundamental conocerse y en este caso, conocer la ciencia que estudiamos, para saber cuáles son sus posibilidades y, como dije, también sus límites.
La segunda, es evaluar la forma de justificar, más bien, demostrar, cuando algo “no se puede resolver”. Acá hay que distinguir entre lo que uno no puede resolver de aquello que no se puede, además, hay que entender que si intentando no podemos no basta con decir: “no se puede”; hay que demostrarlo.
En matemática hay varios métodos para demostrar la veracidad de una proposición, pero no me voy a adelantar al respecto, solo diré que una de estas formas la veremos a continuación.
Dicho esto, vamos al caso:
“De la imposibilidad de dividir por 0”
Este relato tiene por protagonistas a Mariela, una entusiasta y joven estudiante, y a su padre, que es ingeniero aeronáutico.
Ella le pregunta: “¿por qué no se puede dividir por cero?”
Y antes de avanzar analicemos esta pregunta para ver que resulta más significativa de lo que en principio puede parecer. ¡Fíjense en la sorpresa que denota! Claro, Mariela sabe que se puede operar con los números, que se puede dividir, entonces: ¿Qué tiene el cero que lo vuelve un número prohibido para esta cuenta?
También noten que se trata de una pregunta de conocimiento, no se limita a afirmar lo que puede ver en la calculadora, dice: ¿Por qué? Buscando una razón.
Es decir es una pregunta que plantea una persona que dispone de conocimiento y busca avanzar en ese saber; estas son las preguntas fundamentales de todo “buen” estudiante.
Moraleja: no se queden con lo que vean, lean o escuchen, pregúntense acerca de sus razones; y lógicamente analicen las respuestas, que es lo que realizaremos a continuación:
El padre de Mariela le propone un ejemplo a partir de una fracción, pero veamos que resulta equivalente a empezar por un natural, y creo que con los ejemplos que daré será más fácil de entender. Muy bien, por ejemplo consideremos el 2, el inverso multiplicativo de 2 es ½, porque con dos envases de medio litro se completa un litro. El inverso multiplicativo de 4 es ¼, porque con cuatro paquetes de un cuarto kilogramo completo el kilogramo.
El inverso multiplicativo de cualquier número distinto de cero es 1 sobre ese número.
Supongamos que exista el inverso del cero.
Aclaraciones, primero, estamos suponiendo la existencia de un número, si este fuese válido debería cumplir con todas las propiedades que cumplen los demás números de ese conjunto. Segundo, acá inicia la demostración, que va por un camino muy particular que es el absurdo, básicamente suponer que algo es verdadero y encontrar una contradicción. Y, tercero, vamos a utilizar operaciones y propiedades, estén atentos a sus denominaciones y a lo que significan.
De nuevo, supongamos que existe el inverso del cero.
Sería de la forma: 1/0 (siempre el inverso es de la forma: uno sobre el número en cuestión)
Y cumpliría, por definición de inverso multiplicativo, lo siguiente: 0 . 1/0 = 1
Pero, resulta que para la multiplicación el cero es elemento absorbente, y por tanto todo número multiplicado por cero resulta cero, es decir: 0 . 1/0 = 0
En definitiva 0 . 1/0 podría ser tanto 1 como 0, o, incluso, si igualásemos las expresiones resultaría 0 = 1, lo cual es absurdo.
Demostrando así que no existe inverso para el cero, es decir, no existe 1/0 como número.
Recordemos que queremos probar que no se puede dividir por cero, por lo que, veamos ahora como sigue la conversación:
Nuevamente hagamos una suposición; supongamos existe P/0, y que es distinto de cero, por lo que tendrá inverso, que será 0/P, es decir, 0 (porque esta operación sí puede resolverse)
Con lo cual P/0 . 0 = 1 lo que falla con la propiedad de absorbente del cero.
Si en cambio suponemos la existencia de P/0 igual a 0
Además, sabiendo que P puede expresarse como P . 1 la expresión anterior resultaría:
P/0 = P . 1/0 = 0
Y como el producto entre P y 1/0 es igual a cero, con P distinto de 0, no queda más que ser 1/0 = 0 lo cual es absurdo porque no existe el inverso de cero.
El único caso que quedaría demostrar es porque no se puede hacer 0/0 que dejo como tarea virtual, compartan lo que encuentran al respecto.
Esta situación es más que interesante porque por una parte nos muestra que hay límites, el refrán dice que querer es poder, y siempre me pareció muy importante la voluntad… si es sensata… es decir, tan importante como es poner empeño en lo que hacemos está en reconocer cuáles son nuestras posibilidades de concretarlo. Es fundamental conocerse y en este caso, conocer la ciencia que estudiamos, para saber cuáles son sus posibilidades y, como dije, también sus límites.
La segunda, es evaluar la forma de justificar, más bien, demostrar, cuando algo “no se puede resolver”. Acá hay que distinguir entre lo que uno no puede resolver de aquello que no se puede, además, hay que entender que si intentando no podemos no basta con decir: “no se puede”; hay que demostrarlo.
En matemática hay varios métodos para demostrar la veracidad de una proposición, pero no me voy a adelantar al respecto, solo diré que una de estas formas la veremos a continuación.
Dicho esto, vamos al caso:
“De la imposibilidad de dividir por 0”
Este relato tiene por protagonistas a Mariela, una entusiasta y joven estudiante, y a su padre, que es ingeniero aeronáutico.
Ella le pregunta: “¿por qué no se puede dividir por cero?”
Y antes de avanzar analicemos esta pregunta para ver que resulta más significativa de lo que en principio puede parecer. ¡Fíjense en la sorpresa que denota! Claro, Mariela sabe que se puede operar con los números, que se puede dividir, entonces: ¿Qué tiene el cero que lo vuelve un número prohibido para esta cuenta?
También noten que se trata de una pregunta de conocimiento, no se limita a afirmar lo que puede ver en la calculadora, dice: ¿Por qué? Buscando una razón.
Es decir es una pregunta que plantea una persona que dispone de conocimiento y busca avanzar en ese saber; estas son las preguntas fundamentales de todo “buen” estudiante.
Moraleja: no se queden con lo que vean, lean o escuchen, pregúntense acerca de sus razones; y lógicamente analicen las respuestas, que es lo que realizaremos a continuación:
El padre de Mariela le propone un ejemplo a partir de una fracción, pero veamos que resulta equivalente a empezar por un natural, y creo que con los ejemplos que daré será más fácil de entender. Muy bien, por ejemplo consideremos el 2, el inverso multiplicativo de 2 es ½, porque con dos envases de medio litro se completa un litro. El inverso multiplicativo de 4 es ¼, porque con cuatro paquetes de un cuarto kilogramo completo el kilogramo.
El inverso multiplicativo de cualquier número distinto de cero es 1 sobre ese número.
Supongamos que exista el inverso del cero.
Aclaraciones, primero, estamos suponiendo la existencia de un número, si este fuese válido debería cumplir con todas las propiedades que cumplen los demás números de ese conjunto. Segundo, acá inicia la demostración, que va por un camino muy particular que es el absurdo, básicamente suponer que algo es verdadero y encontrar una contradicción. Y, tercero, vamos a utilizar operaciones y propiedades, estén atentos a sus denominaciones y a lo que significan.
De nuevo, supongamos que existe el inverso del cero.
Sería de la forma: 1/0 (siempre el inverso es de la forma: uno sobre el número en cuestión)
Y cumpliría, por definición de inverso multiplicativo, lo siguiente: 0 . 1/0 = 1
Pero, resulta que para la multiplicación el cero es elemento absorbente, y por tanto todo número multiplicado por cero resulta cero, es decir: 0 . 1/0 = 0
En definitiva 0 . 1/0 podría ser tanto 1 como 0, o, incluso, si igualásemos las expresiones resultaría 0 = 1, lo cual es absurdo.
Demostrando así que no existe inverso para el cero, es decir, no existe 1/0 como número.
Recordemos que queremos probar que no se puede dividir por cero, por lo que, veamos ahora como sigue la conversación:
Nuevamente hagamos una suposición; supongamos existe P/0, y que es distinto de cero, por lo que tendrá inverso, que será 0/P, es decir, 0 (porque esta operación sí puede resolverse)
Con lo cual P/0 . 0 = 1 lo que falla con la propiedad de absorbente del cero.
Si en cambio suponemos la existencia de P/0 igual a 0
Además, sabiendo que P puede expresarse como P . 1 la expresión anterior resultaría:
P/0 = P . 1/0 = 0
Y como el producto entre P y 1/0 es igual a cero, con P distinto de 0, no queda más que ser 1/0 = 0 lo cual es absurdo porque no existe el inverso de cero.
El único caso que quedaría demostrar es porque no se puede hacer 0/0 que dejo como tarea virtual, compartan lo que encuentran al respecto.
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